ALUNOS DO 2M - ANALISE COMBINATÓRIA

 PRA COMEÇO DE CONVERSA...

ANÁLISE COMBINATÓRIA

A Análise Combinatória procura resolver problemas de contagem.

Às vezes, contar pode ser algo bastante confuso ou trabalhoso. Nesses casos, através de métodos especiais, é possível obter resultados de um modo mais rápido.

Para que serve? No planejamento urbano (determinação de combinações possíveis de placas de carros) na teoria de jogos, etc.

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

Se um evento depende de duas ou mais etapas independentes a quantidade de ocorrências é o produto das etapas intermediárias.

Exemplo: Um homem possui 3 camisas e 2 calças. De quantas maneiras diferentes ele pode se vestir supondo que ele use uma calça e uma camisa?

DIAGRAMA DE ÁRVORES

Representação que facilita a enumeração de eventos relacionados.

Camisa1 ► calça 1 / camisa1 ► calça 2

Camisa2 ► calça 1 / camisa2 ► calça 2

Camisa3 ► calça 1 / camisa3 ► calça 2   →

 

1) Um homem joga sucessivamente uma moeda e ele irá parar se obter OU duas caras OU três lançamentos ( o que ocorrer primeiro). Quantos resultados diferentes ele poderá obter?

 

2) Sabendo que as novas placas de carro possuem 4 letras e 3 números quantas combinações são possíveis?

 

3) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos montar com os números 1,2,3,4 e 5?

 

4) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos montar com os números 0,1,2,3 e 4?

 

5) Quantos números de 3 algarismos distintos que começam com 2  podemos montar com os números 0,1,2,3, e 4?

 

6) Quantos números pares de 3 algarismos distintos podemos montar com os números 0,1,2,3 e 4?

Cuidado: Ao considerar os pares, não esqueça que o zero não pode vir no começo!

FATORIAL

Definição de Fatorial: Seja n um número natural maior que 1. O fatorial de n, indicado por n!, é definido como o produto dos n números naturais consecutivos de 1 até n, isto é: 

n! = n.(n – 1) . (n – 2) . … .3.2.1  onde

n E R , n > 1

Observação importante sobre Fatorial: convencionou-se que:

 0! = 1 e que  1! = 1

Exemplos para você relembrar Fatorial:

·         Exemplo A – Veja o ‘Cinco Fatorial’                                               

·         5! = 5.4.3.2.1     

·         Exemplo B – Veja o ‘Oito Fatorial’

·         8! = 8.7.6.5.4.3.2.1

Esse conceito de fatorial aparece em várias fórmulas na análise combinatória, como as apresentadas a seguir.

 

ARRANJOS

Através do Princípio Fundamental da Contagem podemos criar alguns conceitos que facilitam muito os cálculos e a resolução de problemas de Combinatória. Um Arranjo pode ser de dois tipos:

a)    Arranjo com Repetição;

b)   Arranjo Simples (também chamado de Arranjo).

 

ARRANJO COM REPETIÇÃO

Nos arranjos (com repetição ou simples) a ordem é importante. Sempre que tivermos a formação de grupos onde a ordem seja levada em conta, estaremos falando de arranjo.

Se em um grupo for possível repetir elementos (como o próprio nome sugere) teremos um Arranjo com Repetição.

 

                                                                       (AR)_n,r = n^r

 

Exemplo: Quantos números de 3 algarismos podemos fazer com os números 1,2,3 e 4?

__ _x __ _x __ =       = 64 combinações. →  (AR)_4,3 = 4³ = 64 combinações

 

Resolva: Em uma caixa há 4 fichas diferentes numeradas de 1 a 4. Uma pessoa retira uma ficha, anota o número em um papel e recoloca a ficha na caixa, repetindo o processo mais três vezes e criando uma seqüência de 4 números. Quantas sequências diferentes são possíveis nesse caso?

 

ARRANJO SIMPLES (sem repetição)

No arranjo simples (ou simplesmente arranjo), a ordem também importante. Sempre que tivermos a formação de grupos onde a ordem seja levada em conta, estaremos falando de arranjos.

 

                                                                       A_n.p =   __n!___

                                                                                    (n – p)!

 

Exemplo: Quantos números de 3 algarismos distintos podemos fazer com os números 1,2,3 e 4?

___ _x ___ _x ___ = 24 combinações    →   A_4.3 =   __4!___ = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 combinações

                                                                                (4 – 3)!     1!

 

PERMUTAÇÃO

Noção Intuitiva: A Permutação é um caso particular do Arranjo. Se a ordem for importante e todos os elementos forem distribuídos em um Arranjo, teremos um caso de Permutação. Existem 3 tipos de Permutação:

1)    Permutação Simples:

2)    Permutação com Repetição;

3)    Permutação Circular.

 

PERMUTAÇAO SIMPLES

Uma permutação onde não há repetição dos elementos.

P = n!

Exemplo1: Quantas palavras de 4 letras distintas (com ou sem sentido) podemos formar com as letra A, B, C e D?

____x ____x ____x___ = 24 palavras  →    A_4,4 =         P₄ = 4!  → 4 x 3 x 2 x 1 = 24 palavras

 

Exemplo2: Qual é o total de anagramas da palavra VESTIBULAR?

Nota 1: Anagrama: “arrumação” possível com a letras de uma palavra.

Nota 2: Você vai usar TODAS as letras?  Sim!  A ordem é importante?  Sim!  Então é um caso de Permutação.

P10 = 10! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 3.628.800 anagramas.

Resolva: Considerando a palavra VESTIBULAR:

a)    Quantos anagramas começam com vogal?

b)    Quantos anagramas começam com vogal e terminam com consoante?

c)    Quantos começam com a sílaba VES?

d)    Quantos possuem as letras VES juntas, nesta ordem?

e)    Quantos possuem as letras VES juntas em qualquer ordem?

 

PERMUTAÇÂO COM REPETIÇÃO

Considere um conjunto (com elementos repetidos) onde haja n elementos. Se houver x elementos repetidos do mesmo tipo, o número de permutações possíveis é:

                                                                       P^x = n!

                                                                         ⁿ     x!

Exemplo: Quantos anagramas podem formar com a palavra BAGAÇA?

Temos 3 letras A repetidas (as demais letras sem repetição, logo: 

P³ = 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

  ⁶    3!               3 x 2 x 1

Resolva: Quantos anagramas podem formar com a palavra BATATA? 

 

PERMUTAÇÃO CIRCULAR

Considere, por exemplo, 4 elementos permutando em torno de um círculo.

Note que as quatro posições relativas acima são as mesmas ( o fato do círculo girar não mudou o fato do 1 estar entre o 4 e o 2, por exemplo). Então:

                                               P_cm = ( m – 1) !

Exemplo: De quantas maneiras diferentes podemos organizar 4 pessoas em torno de uma mesa circular?

P_cm = ( m – 1 ) !     →    P_c4 = (4 – 1)! = 3! = 3 x 2 x 1 = 6 maneiras diferentes

 

COMBINAÇÃO

Se em determinado grupo a ordem não for importante teremos uma Combinação.

 

                                                                          C _n,p =   ___n!__

                                                                                           p! (n-p)!

 

Exemplo: Uma fábrica produz 5 sabores de bombom. Em cada caixinha são colocados 3 sabores distintos. De quantas maneiras esta fábrica pode colocar os três bombons em cada caixinha?

Faz diferença a ordem em que os bombons estão na caixa?   Não!    Então é Combinação!

C₅,₃ =    ___5! ___  =   _5!_         =     5 x 4 x 3!  = 10 maneiras

               3! (5 – 3)!       3! 2!                 3!  2!

Resolva:

1) Uma lanchonete possui 10 frutas diferentes. Um “suco especial” leva três frutas diferentes. Quantos sucos especiais a lanchonete pode fazer?

2) Na Mega Sena existe 60 números diferentes. A cada sorteio são retirados 6 números distintos. Quantos resultados (para cada sorteio) são possíveis?

3- Quantos são os anagramas da palavra AEROPORTO?

4- Um fabricante de doces dispõe de embalagens com capacidade de 4 doces cada uma. Sabendo-se que ele fabrica 10 tipos diferentes de doces, pergunta-se: quantos tipos de embalagens com 4 doces diferentes ele pode oferecer?

5- De uma urna contendo exatamente 90 fichas, numeradas de 1 a 90, são retiradas quatro fichas, sucessivamente e sem reposição. Qual o número de sequencias distintas possíveis para essas quatro fichas tal que a segunda ficha tenha o número 40?

6- ) Seis pessoas, sendo três homens e três mulheres, formam uma fila. Verifique de quantas maneiras diferentes essa fila pode ser formada se:

a)     não houver qualquer restrição;

b)     as mulheres forem as primeiras da fila;

c)     duas determinadas pessoas sempre estiverem juntas;

d)     as mulheres ficarem todas juntas;

7- Em um programa de rádio serão apresentadas sete músicas diferentes: quatro brasileiras e três estrangeiras. Em quantas sequencias diferentes essas músicas podem ser apresentadas de modo que a primeira e a última música do programa sejam brasileiras?

8- Calcule o número de anagramas da palavra CLUBE que apresentam as vogais em ordem alfabética, juntas ou não.

9- Num hospital, há três vagas para trabalhar no berçário, 5 no banco de sangue e 2 na administração.  Se 6 funcionários se candidatam para o berçário, 8 para o banco de sangue e 5 para a administração,  de quantas maneiras distintas essas vagas podem ser preenchidas?

10- Uma comissão de quatro pessoas, contendo pelo menos uma mulher, será escolhida dentre 5 homens e 5 mulheres. Quantas comissões diferentes podem ser formadas?

11- Quantos anagramas podemos fazer com a palavra ASTRIDE, que:

a) começam com vogal;

b) T e R aparecem juntas;

c)  começam com DE;

12- Em uma sessão de cinema, 3 mulheres e 4 homens vão assistir ao filme ocupando uma fileira com exatamente 7 cadeiras. De quantas maneiras diferentes essas pessoas podem se distribuir nas cadeiras de modo que as mulheres fiquem juntas e os homens também fiquem juntos?

13- Com um grupo de cinco alunos, de quantas maneiras distintas posso fazer uma fila com três alunos? Com quatro? E com cinco?

14- Em uma corrida com 12 participantes, de quantas maneiras distintas podemos ter as três primeiras colocações?

15- Com oito pessoas que sabem dirigir, de quantas maneiras distintas conseguimos colocar 5 delas em um fusca?

16- Quantos são os anagramas das palavras ARARA e COLTECANO?

17- De quantas maneiras podemos colocar 10 pessoas em uma fila, sendo que temos 6 homens e 4 mulheres e que a fila terá:

a)    Os homens e as mulheres agrupados.

b)    Homens e mulheres misturados

c)    Homens e mulheres alternados

18- Qual o número de anagramas da palavra CARMO onde as letras C e A aparecem juntas