CONJUNTOS NUMÉRICOS AOS 1º ANOS DO LUMA

E por falar em Conjuntos numéricos você sabia que...

Desde o início da civilização, o Homem teve necessidade de aprender a contar. Conforme o tempo vai passando, essa necessidade aumentava cada vez mais e foi exigindo essa ideia de número e, com isso, surgiram diferentes processos de número em Matemática que foram organizados e denominados em conjuntos numéricos.

Vamos fazer um breve resumo sobre eles:

CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS

Os números naturais são utilizados para indicar contagens como idade, dias, valores. Esse conjunto começa pelo zero e vai acrescentando sempre uma unidade, obtendo os elementos do conjunto dos números naturais e será indicado por N.

N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...}

Lembre-se:

- Todo número natural n tem seu sucessor (n+1), que é o número natural que vem depois dele. Exemplo: o sucessor de 8 é o 9; o sucessor de 21 é o 22.

- O número natural que vem antes do número n (n – 1) e diferente de zero é denominado de antecessor. Exemplo: o antecessor de 10 é o 9; o antecessor de 15 é o 14.

- Os números naturais n e n+1 são denominados de consecutivos.

CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS

Os números inteiros apareceram quando os números naturais não satisfaziam mais todas as necessidades. Com o início do Renascimento surgiu a expansão comercial, que aumentou a circulação de dinheiro, obrigando os comerciantes a expressarem situações envolvendo lucros e prejuízos.

O conjunto dos números inteiros é o resultado da evolução da contagem em razão da necessidade de números menores que zero.

Quem inventou o conjunto dos números inteiros?

Entre eles, o alemão Ernest Zermelo (1871-1955), que utilizou a letra Z (proveniente da palavra alemã Zahl (número) e também inicial de seu sobrenome) para designar o conjunto dos números inteiros, sendo formado pelos números positivos (Naturais) e seus respectivos opostos, podendo ser escrito da seguinte forma:

Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}

Todos os números naturais pertencem ao conjunto dos numéricos inteiros, ou seja, o conjunto dos números naturais é um subconjunto do conjunto dos números inteiros, como mostra o diagrama a seguir:

Na reta orientada, o conjunto Z pode ser assim representado:

Todo número natural também é um número inteiro? S I M!!!!

Lembre-se:

- Todo número inteiro tem um antecessor e um sucessor.

- Dois números inteiros são opostos ou simétricos quando a soma deles é igual a zero. O oposto de zero é o próprio zero.

- As operações de soma, diferença e produto estão bem definidas, portanto quaisquer que sejam dois números inteiros, essas operações sempre resultam em um número inteiro.

- No entanto, no conjunto dos inteiros, não é possível obter um número inteiro como quociente de algumas divisões exatas, com 7: 2, por exemplo. Desse modo surge a necessidade de definir novos conjuntos numéricos.

CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS

Sabemos que algumas divisões não podem ser realizadas no conjunto dos números inteiros. Mediante essa situação, surgiu a necessidade de complementar os conjuntos numéricos, o que deu a origem ao conjunto dos números racionais.

O conjunto dos números racionais, que indicamos por Q, é aquele formado pelos números que podem ser expressos na forma de fração a, sendo a e b inteiros e b # 0. b

Lembre-se:

- O conjunto dos números inteiros (Z) é um subconjunto do conjunto dos números racionais (Q);

- Todo número racional pode ser escrito na forma fracionária ou na forma decimal, pois toda expressão decimal com parte decimal finita ou infinita e periódica pode ser representada por uma fração formada por números inteiros com denominador não nulo ou vice versa.

A respeito dos números racionais:

- A soma, a diferença e o produto de dois números racionais é um número racional.

- O quociente de dois números racionais, sendo o divisor diferente de zero, é um número racional.

- Dois números racionais são opostos ou simétricos quando a soma deles é igual a zero.

- Dois números racionais são inversos um do outro quando o produto deles é igual a 1.

CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS

A descoberta dos números irracionais foi feita durante o estudo da geometria. Na tentativa de descobrir o comprimento da hipotenusa de um triângulo que possui lados medindo 1, ao aplicar o teorema de Pitágoras cerca de VI a.C., o resultado encontrado foi um número irracional, ou seja, não periódico.

Este problema geométrico arrasta outro de natureza aritmética, que consiste na impossibilidade de encontrar números conhecidos - racionais - para raízes quadradas de outros números, como por exemplo, raiz quadrada de 2.

Esse número tem uma infinidade de casas decimais que não apresentam padrão de repetição, não caracterizando como uma dízima periódica e é possível demonstrar que números desse tipo não podem ser escritos na forma de fração de inteiros (com denominador não nulo), portanto não é um número racional, e sim, um número irracional.

O conjunto dos números irracionais, que indicamos por I, é o conjunto formado pelos números que tem uma representação decimal infinita e não periódica.

I = { V2, V3, p, f, e, ...}

A respeito dos números irracionais:

- A soma de um número racional com um número irracional é um número irracional.

- A subtração de um número racional e um número irracional, e vice versa, é um número irracional.

- O produto de um número racional não nulo por um número irracional é um número irracional.

- A soma e o produto de dois números irracionais nem sempre terá como resultado um número irracional.

CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS

O conjunto dos números reais nada mais é do que a união dos números racionais com os números irracionais, ℝ = ℚ ∪ I , no qual as operações soma, subtração, multiplicação e divisão estão bem definidas.