GRANDEZAS DIRETAMENTE E INVERSAMENTE PROPORCIONAIS - ALUNOS 1º ANOS LUMA

 

REGRA DE TRÊS SIMPLES

Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.

Passos utilizados numa regra de três simples:

1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.

2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.

3º) Montar a proporção e resolver a equação.

Exemplos:

1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m², uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m², qual será a energia produzida?

Solução: montando a tabela:

Área (m²) Energia (Wh)
1,2--------400
1,5-------- x

Identificação do tipo de relação:

Área--------Energia
↑ 1,2 ---------400 ↑

↑ 1,5---------- x    ↑

Inicialmente colocamos uma seta para cima na coluna que contém o x (2ª coluna).

Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta.

Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Área--------Energia
↑ 1,2---------400 ↑

↑ 1,5-----------x   ↑

1,2x = 400.1,5


x= 400.1,5 / 1,2

x= 500

Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.

2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?

Solução: montando a tabela:

1) Velocidade (Km/h) Tempo (h)
400-----------------3
480---------------- x

2) Identificação do tipo de relação:

velocidade----------tempo
400↑-----------------3↓

480↑---------------- x↓ 

Obs: como as setas estão invertidas temos que inverter os números da primeira coluna e mantendo a segunda coluna ou seja o que esta em cima vai para baixo e o que esta em baixo na primeira coluna vai para cima

velocidade----------tempo
480↓-----------------3↓
400↓----------------  x↓


480x = 400 . 3

x = 400 . 3 / 480

X = 2,5

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).

Observe que: aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui.

Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.

AGORA É COM VOCÊ... VERIFIQUE SE APRENDEU!

1 - Leia com atenção e classifique as grandezas em diretamente ou inversamente proporcionais

a) Consumo de combustível e quilômetros percorridos por um automóvel.

b) A velocidade de um trem e o tempo gasto no percurso

c) A velocidade de um automóvel e a distância percorrida por ele.

d) A distância percorrida por um aplicativo de transporte e o valor a pagar no final da corrida.

e) Número de operários trabalhando e tempo para realizar um trabalho.

2 - Para melhor compreendermos o significado de grandezas direta ou inversamente proporcionais, observe e as classifique em diretamente ou inversamente proporcionais:

a. 5 litros de combustível ------------- 50 km percorridos

   10 litros de combustível ------------ 100 km percorridos

b. 200km/h -------- 3h

   100km/h ----------1h30min

c. 1 torneira aberta ------------- enche a piscina em  12h

    4 torneiras abertas --------   enchem a piscina em 3h

d. 10 pedreiros ------------- fazem um muro em 10h

     25 pedreiros ------------ fazem o muro em 4h

3 - Resolva os problemas a seguir utilizando diferentes estratégias de cálculo e classifique se as grandezas relacionadas nos problemas são diretamente ou inversamente proporcional.

a) Uma torneira despeja 20 litros de água por minuto e leva uma hora para encher uma caixa d'agua que estava vazia. Se forem colocadas mais 2 torneiras com a mesma vazão, em quanto tempo elas encherão esta mesma caixa?

b) Mauricio pagou R$ 90,00 par uma calça jeans. Se ele comprasse 2 calças custando esse mesmo valor, quanta pagaria?

4 - (AAP, 2016) Considere as afirmações a seguir.

I -Um pintor leva 1 hora para pintar uma parede. Para pintar duas paredes em condição idêntica, ele levará 2 horas.

II -Um time marcou 2 gols nos primeiros 15 minutos de jogo. Portanto, ao final do primeiro tempo (45 minutos), ele terá marcado 6 gols.

Ill - Em 1 hora de viagem, um trem com velocidade média constante, percorreu 60 km. Mantendo a mesma velocidade média, após 3 horas ele terá percorrido 180 km.

IV-A massa de uma pessoa e diretamente proporcional a sua idade.

Há proporcionalidade entre as grandezas envolvidas, apenas nas afirmações

(A) I e ll.

(B) II e Ill.

(C) I e Ill.

(D)III e IV

5 - Se 4,8 m de fio custam R$ 240,00. Qual será o preço de 6 m do mesmo fio?

6 - Um automóvel com velocidade constante percorre 20 m em 4 segundos. Quantos metros percorrerá em 6 segundos?

7 - Em um dia de trabalho, 5 operários produziram 800 peças. Se 8 operários trabalhassem no mesmo ritmo, quantas peças iriam produzir?

8 - Para construir uma casa, 4 pedreiros levaram 60 dias. Em quantos dias 5 pedreiros, com mesma capacidade de trabalho, fariam a mesma casa?

9 - Uma fábrica de tecidos consumiu 1 820 fardos de algodão em 13 dias. Em 8 dias, quantos fardos consumiu?

10) Uma roda dá 80 voltas em 20 minutos. Quantas voltas dará em 28 minutos? (R:112)

11) Com 8 eletricistas podemos fazer a instalação de uma casa em 3 dias. Quantos dias levarão 6 eletricistas para fazer o mesmo trabalho? (R: 4)

12) Com 6 pedreiros podemos construir um a parede em 8 dias. Quantos dias gastarão 3 pedreiros para fazer a mesma parede? (R:16)

13) Uma fabrica engarrafa 3000 refrigerantes em 6 horas. Quantas horas levará para engarrafar 4000 refrigerantes? (R: 8)

14) Quatro marceneiros fazem um armário em 18 dias. Em quantos dias 9 marceneiros fariam o mesmo armário? (R:8)

15) Trinta operários constroem uma casa em 120 dias. Em quantos dias 40 operários construiriam essa casa? (R: 90)

16) Uma torneira despeja em um tanque 50 litros de água em 20 minutos. Quantas horas levarão para despejar 600 litros? (R: 4)

17) Na construção de uma escola foram gastos 15 caminhões de 4 m³ de areia. Quantos caminhões de 6 m³ seriam necessários para fazer o mesmo trabalho? (R: 10)

18) Com 14 litros de tinta podemos pintar uma parede de 35 m². Quantos litros são necessários para pintar uma parede de 15 m²? (R: 6)

19) Um ônibus, a uma velocidade média de 60 km/h, fez um percurso em 4 horas. Quanto levará, aumentando a velocidade média para 80 km/h? (R:3)

20) Para se obterem 28 kg de farinha, são necessários 40 kg de trigo. Quantos quilogramas do mesmo trigo são necessários para se obtiver 7 kg de farinha? (R:10)

REGRA DE TRÊS COMPOSTA

Regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais.

Exemplos:

1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160 m³ de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125 m³?

Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:

Horas --------caminhões-----------volume

8↓----------------20↑----------------------160

5↓------------------x↑----------------------125

A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x.

Observe que:

Diminuindo o número de horas de trabalho, podemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para baixo na 1ª coluna).

Diminuindo o volume de areia, devemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.

Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Horas --------caminhões-----------volume
5↓----------------20↓----------------------160↓

8↓------------------x↓----------------------125↓

onde os termos da fração 8/5 foram invertidos

20 =   5  .  160

 x       8      125 

resolvendo fica:

20 =    800

 x       1000

800/x = 20000
x = 20000

        800

x = 25

Logo, serão necessários 25 caminhões

2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?

Solução: montando a tabela:

Homens      carrinhos       dias
8-----------------20--------------5
4----------------   x -------------16

Observe que:

Diminuindo o número de homens, a produção de carrinhos diminui. Portanto a relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão).

Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões.

Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

20 =  8  .    5
 x      4      16

20 =  40
 x      64

40 x= 20 . 64

x = 1280

        40

x = 32

Logo, serão montados 32 carrinhos

ATIVIDADES DE REGRA DE TRÊS COMPOSTAS

1) Uma olaria produz 1470 tijolos em 7 dias, trabalhando 3 horas por dia. Quantos tijolos produzirão em 10 dias, trabalhando 8 horas por dia? (R=5600)

2) Oitenta pedreiros constroem 32m de muro em 16 dias. Quantos pedreiros serão necessários para construir 16 m de muro em 64 dias? (R=10)

3) Um ônibus percorre 2232 km em 6 dias, correndo 12 horas por dia. Quantos quilômetros percorrerão em 10 dias, correndo 14 horas por dia? (R=4340)

4) Numa fábrica, 12 operários trabalhando 8 horas por dia conseguem fazer 864 caixas de papelão. Quantas caixas serão feitas por 15 operários que trabalhem 10 horas por dia? (R=1350)

5) Vinte máquinas, trabalhando 16 horas por dia, levam 6 dias para fazer um trabalho. Quantas máquinas serão necessárias para executar o mesmo serviço, se trabalharem 20 horas por dia durante 12 dias? (R=8)

6) Numa indústria têxtil, 8 alfaiates fazem 360 camisas em 3 dias quantos alfaiates são necessários para que sejam feitas 1080 camisas em 12 dias ? (R=6)

7) Um ciclista percorre 150 km em 4 dias pedalando 3 horas por dia. Em quantos dias faria uma viagem de 400 km, pedalando 4 horas por dia? (R=8)

8) Uma máquina fabricou 3200 parafusos, trabalhando 12 horas por dia durante 8 dias. Quantas horas deverão trabalhar por dia para fabricar 5000 parafusos em 15 dias? (R=10)

9) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher 2 piscinas? (R: 6 horas.)

10) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão? (R: 35 dias).