ALUNOS DO 2M - ANALISE COMBINATÓRIA

 PRA COMEÇO DE CONVERSA...

ANÁLISE COMBINATÓRIA

A Análise Combinatória procura resolver problemas de contagem.

Às vezes, contar pode ser algo bastante confuso ou trabalhoso. Nesses casos, através de métodos especiais, é possível obter resultados de um modo mais rápido.

Para que serve? No planejamento urbano (determinação de combinações possíveis de placas de carros) na teoria de jogos, etc.

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

Se um evento depende de duas ou mais etapas independentes a quantidade de ocorrências é o produto das etapas intermediárias.

Exemplo: Um homem possui 3 camisas e 2 calças. De quantas maneiras diferentes ele pode se vestir supondo que ele use uma calça e uma camisa?

DIAGRAMA DE ÁRVORES

Representação que facilita a enumeração de eventos relacionados.

Camisa1 ► calça 1 / camisa1 ► calça 2

Camisa2 ► calça 1 / camisa2 ► calça 2

Camisa3 ► calça 1 / camisa3 ► calça 2   →

 

1) Um homem joga sucessivamente uma moeda e ele irá parar se obter OU duas caras OU três lançamentos ( o que ocorrer primeiro). Quantos resultados diferentes ele poderá obter?

 

2) Sabendo que as novas placas de carro possuem 4 letras e 3 números quantas combinações são possíveis?

 

3) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos montar com os números 1,2,3,4 e 5?

 

4) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos montar com os números 0,1,2,3 e 4?

 

5) Quantos números de 3 algarismos distintos que começam com 2  podemos montar com os números 0,1,2,3, e 4?

 

6) Quantos números pares de 3 algarismos distintos podemos montar com os números 0,1,2,3 e 4?

Cuidado: Ao considerar os pares, não esqueça que o zero não pode vir no começo!

FATORIAL

Definição de Fatorial: Seja n um número natural maior que 1. O fatorial de n, indicado por n!, é definido como o produto dos n números naturais consecutivos de 1 até n, isto é: 

n! = n.(n – 1) . (n – 2) . … .3.2.1  onde

n E R , n > 1

Observação importante sobre Fatorial: convencionou-se que:

 0! = 1 e que  1! = 1

Exemplos para você relembrar Fatorial:

·         Exemplo A – Veja o ‘Cinco Fatorial’                                               

·         5! = 5.4.3.2.1     

·         Exemplo B – Veja o ‘Oito Fatorial’

·         8! = 8.7.6.5.4.3.2.1

Esse conceito de fatorial aparece em várias fórmulas na análise combinatória, como as apresentadas a seguir.

 

ARRANJOS

Através do Princípio Fundamental da Contagem podemos criar alguns conceitos que facilitam muito os cálculos e a resolução de problemas de Combinatória. Um Arranjo pode ser de dois tipos:

a)    Arranjo com Repetição;

b)   Arranjo Simples (também chamado de Arranjo).

 

ARRANJO COM REPETIÇÃO

Nos arranjos (com repetição ou simples) a ordem é importante. Sempre que tivermos a formação de grupos onde a ordem seja levada em conta, estaremos falando de arranjo.

Se em um grupo for possível repetir elementos (como o próprio nome sugere) teremos um Arranjo com Repetição.

 

                                                                       (AR)_n,r = n^r

 

Exemplo: Quantos números de 3 algarismos podemos fazer com os números 1,2,3 e 4?

__ _x __ _x __ =       = 64 combinações. →  (AR)_4,3 = 4³ = 64 combinações

 

Resolva: Em uma caixa há 4 fichas diferentes numeradas de 1 a 4. Uma pessoa retira uma ficha, anota o número em um papel e recoloca a ficha na caixa, repetindo o processo mais três vezes e criando uma seqüência de 4 números. Quantas sequências diferentes são possíveis nesse caso?

 

ARRANJO SIMPLES (sem repetição)

No arranjo simples (ou simplesmente arranjo), a ordem também importante. Sempre que tivermos a formação de grupos onde a ordem seja levada em conta, estaremos falando de arranjos.

 

                                                                       A_n.p =   __n!___

                                                                                    (n – p)!

 

Exemplo: Quantos números de 3 algarismos distintos podemos fazer com os números 1,2,3 e 4?

___ _x ___ _x ___ = 24 combinações    →   A_4.3 =   __4!___ = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 combinações

                                                                                (4 – 3)!     1!

 

PERMUTAÇÃO

Noção Intuitiva: A Permutação é um caso particular do Arranjo. Se a ordem for importante e todos os elementos forem distribuídos em um Arranjo, teremos um caso de Permutação. Existem 3 tipos de Permutação:

1)    Permutação Simples:

2)    Permutação com Repetição;

3)    Permutação Circular.

 

PERMUTAÇAO SIMPLES

Uma permutação onde não há repetição dos elementos.

P = n!

Exemplo1: Quantas palavras de 4 letras distintas (com ou sem sentido) podemos formar com as letra A, B, C e D?

____x ____x ____x___ = 24 palavras  →    A_4,4 =         P₄ = 4!  → 4 x 3 x 2 x 1 = 24 palavras

 

Exemplo2: Qual é o total de anagramas da palavra VESTIBULAR?

Nota 1: Anagrama: “arrumação” possível com a letras de uma palavra.

Nota 2: Você vai usar TODAS as letras?  Sim!  A ordem é importante?  Sim!  Então é um caso de Permutação.

P10 = 10! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 3.628.800 anagramas.

Resolva: Considerando a palavra VESTIBULAR:

a)    Quantos anagramas começam com vogal?

b)    Quantos anagramas começam com vogal e terminam com consoante?

c)    Quantos começam com a sílaba VES?

d)    Quantos possuem as letras VES juntas, nesta ordem?

e)    Quantos possuem as letras VES juntas em qualquer ordem?

 

PERMUTAÇÂO COM REPETIÇÃO

Considere um conjunto (com elementos repetidos) onde haja n elementos. Se houver x elementos repetidos do mesmo tipo, o número de permutações possíveis é:

                                                                       P^x = n!

                                                                         ⁿ     x!

Exemplo: Quantos anagramas podem formar com a palavra BAGAÇA?

Temos 3 letras A repetidas (as demais letras sem repetição, logo: 

P³ = 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

  ⁶    3!               3 x 2 x 1

Resolva: Quantos anagramas podem formar com a palavra BATATA? 

 

PERMUTAÇÃO CIRCULAR

Considere, por exemplo, 4 elementos permutando em torno de um círculo.

Note que as quatro posições relativas acima são as mesmas ( o fato do círculo girar não mudou o fato do 1 estar entre o 4 e o 2, por exemplo). Então:

                                               P_cm = ( m – 1) !

Exemplo: De quantas maneiras diferentes podemos organizar 4 pessoas em torno de uma mesa circular?

P_cm = ( m – 1 ) !     →    P_c4 = (4 – 1)! = 3! = 3 x 2 x 1 = 6 maneiras diferentes

 

COMBINAÇÃO

Se em determinado grupo a ordem não for importante teremos uma Combinação.

 

                                                                          C _n,p =   ___n!__

                                                                                           p! (n-p)!

 

Exemplo: Uma fábrica produz 5 sabores de bombom. Em cada caixinha são colocados 3 sabores distintos. De quantas maneiras esta fábrica pode colocar os três bombons em cada caixinha?

Faz diferença a ordem em que os bombons estão na caixa?   Não!    Então é Combinação!

C₅,₃ =    ___5! ___  =   _5!_         =     5 x 4 x 3!  = 10 maneiras

               3! (5 – 3)!       3! 2!                 3!  2!

Resolva:

1) Uma lanchonete possui 10 frutas diferentes. Um “suco especial” leva três frutas diferentes. Quantos sucos especiais a lanchonete pode fazer?

2) Na Mega Sena existe 60 números diferentes. A cada sorteio são retirados 6 números distintos. Quantos resultados (para cada sorteio) são possíveis?

3- Quantos são os anagramas da palavra AEROPORTO?

4- Um fabricante de doces dispõe de embalagens com capacidade de 4 doces cada uma. Sabendo-se que ele fabrica 10 tipos diferentes de doces, pergunta-se: quantos tipos de embalagens com 4 doces diferentes ele pode oferecer?

5- De uma urna contendo exatamente 90 fichas, numeradas de 1 a 90, são retiradas quatro fichas, sucessivamente e sem reposição. Qual o número de sequencias distintas possíveis para essas quatro fichas tal que a segunda ficha tenha o número 40?

6- ) Seis pessoas, sendo três homens e três mulheres, formam uma fila. Verifique de quantas maneiras diferentes essa fila pode ser formada se:

a)     não houver qualquer restrição;

b)     as mulheres forem as primeiras da fila;

c)     duas determinadas pessoas sempre estiverem juntas;

d)     as mulheres ficarem todas juntas;

7- Em um programa de rádio serão apresentadas sete músicas diferentes: quatro brasileiras e três estrangeiras. Em quantas sequencias diferentes essas músicas podem ser apresentadas de modo que a primeira e a última música do programa sejam brasileiras?

8- Calcule o número de anagramas da palavra CLUBE que apresentam as vogais em ordem alfabética, juntas ou não.

9- Num hospital, há três vagas para trabalhar no berçário, 5 no banco de sangue e 2 na administração.  Se 6 funcionários se candidatam para o berçário, 8 para o banco de sangue e 5 para a administração,  de quantas maneiras distintas essas vagas podem ser preenchidas?

10- Uma comissão de quatro pessoas, contendo pelo menos uma mulher, será escolhida dentre 5 homens e 5 mulheres. Quantas comissões diferentes podem ser formadas?

11- Quantos anagramas podemos fazer com a palavra ASTRIDE, que:

a) começam com vogal;

b) T e R aparecem juntas;

c)  começam com DE;

12- Em uma sessão de cinema, 3 mulheres e 4 homens vão assistir ao filme ocupando uma fileira com exatamente 7 cadeiras. De quantas maneiras diferentes essas pessoas podem se distribuir nas cadeiras de modo que as mulheres fiquem juntas e os homens também fiquem juntos?

13- Com um grupo de cinco alunos, de quantas maneiras distintas posso fazer uma fila com três alunos? Com quatro? E com cinco?

14- Em uma corrida com 12 participantes, de quantas maneiras distintas podemos ter as três primeiras colocações?

15- Com oito pessoas que sabem dirigir, de quantas maneiras distintas conseguimos colocar 5 delas em um fusca?

16- Quantos são os anagramas das palavras ARARA e COLTECANO?

17- De quantas maneiras podemos colocar 10 pessoas em uma fila, sendo que temos 6 homens e 4 mulheres e que a fila terá:

a)    Os homens e as mulheres agrupados.

b)    Homens e mulheres misturados

c)    Homens e mulheres alternados

18- Qual o número de anagramas da palavra CARMO onde as letras C e A aparecem juntas

ALUNOS DO 1EM - PORCENTAGENS

 PRA COMEÇO DE CONVERSA...

PORCENTAGEM ou razão percentual é uma razão de denominador 100. A porcentagem é representada pelo símbolo % (por cento).

Ex: Numa escola de 500 estudantes, 200 são corintianos. Pergunta-se:

a)Qual é a razão entre corintianos e o total de alunos.

b) Qual a porcentagem de corintianos.

Solução:

a)Corintianos  = 200 = 2

        total            500 = 5

b)A porcentagem é a razão percentual (razão de denominador 100).

2  =  0,4 x 100   =  40%

5     

FATOR DE AUMENTO – FA – ACUMULAÇÃO CAPITAL

O fator de aumento é um número que permite achar o novo preço de uma mercadoria, após um aumento percentual, com uma única multiplicação.

Ex: Uma mercadoria custava R$ 180,00. Qual seu novo preço após um aumento de 32%?

Solução Tradicional:

1º passo: Calcula-se o aumento.

32% de 180,00 =   32 x 180  = 57,60

                             100

2º passo: Calcula-se o novo preço:

180,00 + 57,60 = 237,60

 

Solução com Fator de Aumento:

Se o preço de uma mercadoria aumentou 32% ela passou a valer:

fa = 100% + 32% = 132% =  132   = 1,32

                                               100

Logo, com uma única multiplicação, podemos achar o novo preço, já aumentado:

Novo preço = 1,32 x R$ 180,00 = R$ 237,60

AUMENTOS SUCESSIVOS

Considere a seguinte situação:

Dois aumentos sucessivos de 20% correspondem a um único aumento de quantos por cento?

Solução: Considere uma mercadoria cujo preço inicial é de  R$ 100,00.

Com o primeiro aumento de 20% a mercadoria passa a custar R$ 120,00.

O outro aumento de 20% vai incidir sobre esse novo valor de R$ 120,00. Logo, o novo preço após esse segundo aumento será:

120,00 + 20% de 120,00 = 120,00 + 24,00 = 144,00.

Comparando R$ 144,00 com o preço inicial de R$ 100,00 concluímos que esses dois aumentos sucessivos de 20% corresponde a um único aumento de 44%.

Por que as dívidas de cartões de créditos e cheques especiais são impagáveis?

Os cartões de crédito cobram taxas que variam de 10% a 15% ao mês. Vamos considerar um cartão de crédito que cobra taxa de 15% ao mês.

O que acontece com essa dívida após um ano?

Suponha que uma pessoa tenha uma dívida de R$ 1000,00. O que acontece com essa dívida após um ano a uma taxa de juros a 15% ao mês? (Não vamos considerar as multas, mora sobre o valor que deixou de ser pago).

 

1 mês após:      R$ 1000,00 x  1,15       = R$ 1150,00

2 meses após:   R$ 1000,00 x (1,15) ²   = R$ 1322,50

3 meses após:   R$ 1000,00 x (1,15) ³   = R$ 1520,87

4 meses após:   R$ 1000,00 x (1,15) ⁴   = R$ 1749,00

12 meses após: R$ 1000,00 x (1,15) ¹² = R$ 5350,25

 

O fator de aumento (1,15)¹² = 5,35025 corresponde a uma porcentagem de aumento de:

%(aumento) = (5,35025 – 1) x 100% = 435, 025%

OBS: O ideal é pagar a fatura total do cartão de crédito no vencimento e nunca utilizar os limites de cheque especiais 

PAGAR À VISTA OU EM DUAS VEZES???

Uma loja tem os dois seguintes planos de venda:

I - à vista, com 30% de desconto;

II - em duas parcelas iguais sem aumento no preço (a 1ª paga o ato da compra e a 2ª um mês após).

 

Observe: suponha que o preço anunciado seja R$ 100,00. Então no Plano I temos:

 

Preço à vista: 30% de desconto = R$ 70,00 (preço verdadeiro é o preço à vista da mercadoria).

No Plano II temos:

R$ 50,00 no ato da compra e R$ 50,00 um mês após.

Ao pagar R$ 50,00 à vista o cliente fica devendo para a loja (R$ 70,00 – R$ 50,00) = R$ 20,00.

Porém, um mês após, ele paga R$ 50,00.

fa = 50  = 2,5

        20

Logo a porcentagem de aumento:

% = (fa – 1) x 100% = (2,5 – 1) x 100% = 150%

DESCONTOS (FATOR DE DESCONTO - fd)

O fator de desconto é um número que permite achar um novo preço de uma mercadoria, após um desconto percentual, com uma única multiplicação.

Ex: Uma mercadoria custava R$ 170,00. Qual seu novo preço após um desconto de 32%?

Solução Tradicional:

1º passo: Calcula-se o desconto:

32% de 170,0 =   32  x 170  = 54,40

                           100

2º passo: Calcula-se o novo preço:

170,00 – 54,40 = 115,60

Solução com Fator de Aumento:

Se o preço de uma mercadoria diminuiu 32% ela passou a valer:

fd = 100% - 32% = 68%  =  68    = 0,68

                                            100

Ou seja, 0,68 do preço anterior. Logo:

Novo preço: 0,68 x R$ 170,00 = R$ 115,60.

 

O fator 0,68 é chamado de fator de desconto (fd).

AGORA VAMOS COLOCAR EM PRÁTICA 

RESOLVA:

1) O quilo do açúcar custava R$ 2,25 e passou a custar R$ 3,15 enquanto o pacote de meio quilo de café custava R$ 8,80 e passou a custar R$ 11,00. Quais foram os aumentos porcentuais desses dois produtos? Qual deles aumentou mais?

2) O salário mensal bruto de Severino é de R$ 1320,00. Se ele é descontado em 8% para a Previdência Social, qual é o seu salário líquido?

Observação: Salário líquido é o salário bruto menos os descontos.

 

3) Depois de um aumento de 15%, um televisor passou a custar R$ 860,00. Qual era o preço do televisor antes do aumento?

Sugestão: Se x é o preço antigo, então x + 0,15x = 860.

 

4) Aumentos sucessivos de 20% e de 10% equivalem a um aumento único de quanto? E descontos sucessivos de 20% e de 10% equivalem a um desconto único de quanto?

 

5) Se um artigo aumentou em 25%, de quanto ele deve diminuir para voltar ao preço antigo?

 

6) Os trabalhadores de certa categoria estão reivindicando uma reposição salarial de 29% mais um aumento real de 5%. Qual é o aumento total que está sendo pleiteado?

 

7) Investindo seu dinheiro a juros de 5% ao mês, qual é o rendimento trimestral que você obtém?

Sugestão: Faça o principal igual a 100 e determine o montante.

 

8) Qual o aumento total correspondente a dois aumentos sucessivos de 20% e 30% ?

9) Numa escola de 900 alunos, 42% são meninas. Calcule o número de rapazes. (R:378)

: 30,40)
10) Comprei uma bicicleta por R$ 500,00, Revendi com um lucro de 15%. Quanto ganhei? (R: 75,00

(R: R$ 57,00)
11) Por quanto deverei vender um objeto que me custou R$ 520,00 para lucrar 40% ( R: 936,00)

12) Seu João comprou um rádio por R$ 185,00 e obteve um desconto de 12% . Quanto pagou pelo rádio? 

ATIVIDADES SOBRE EQUAÇÕES E FUNÇÕES EXPONENCIAIS

E aí?? Vamos colocar em prática alguns conceitos???

Então resolva as atividades abaixo:

1)  Certa substância radioativa se decompõe de tal forma que sua massa “m” se altera a cada quatro horas, conforme a função: m = m₀ ∙ 2^-0,25t. O valor inicial da massa, m₀, é igual a     60 g, e o tempo é dado em horas. Após 12 horas a massa (m), será de:

(A)         60g                      (B)         30g                     (C)         7,5g               (D)         6g

2)  Leia as situações descritas abaixo:

I. Um imóvel valoriza-se 20% a cada ano.

II. Uma colônia de bactérias duplica o número de bactérias a cada hora.

 É correto afirmar que

(A) nenhuma das situações se refere a grandezas que crescem exponencialmente.

(B) apenas a situação I se refere a uma grandeza que cresce exponencialmente.

(C) apenas a situação II se refere a uma grandeza que cresce exponencialmente.

(D) ambas as situações se referem a grandezas que crescem exponencialmente.

3) A população N de determinado município cresce exponencialmente desde a sua fundação, há 20 anos, de acordo com a expressão: N = 3000 . 10 ^0,1t, sendo t em anos. Calcule:

a) valor de N quando o município foi fundado (t = 0).

b) o valor de N dez anos após a fundação.

c)o valor de N atualmente.

d) quanto tempo, após a fundação, a população atingira a marca de 3 000 000 de habitantes, se o ritmo de crescimento continuar assim.

e) quanto tempo, após a fundação, o valor de N atingirá 600 000 habitantes.

4) O valor de x que satisfaz a equação 5 . 3 ^x = 405 é:

a)  negativo.

b) um número entre 1 e 10

c) um número fracionário

d) um número imaginário puro.

e) um número irracional.

    5) Uma determinada máquina se deprecia de tal forma que seu valor, t anos após sua compra e dado por V(t) = V_o . 2 ^-0,2t  em que V_o é uma constante real. Se, após 10 anos, a máquina estiver valendo R$ 12 000,00 determine o valor que ela foi comprada.

    6) Sob certas condições, o número de bactérias B de uma cultura, em função do tempo t, medido em horas, é dado por B(t) =  2 ^t/12  . Qual será o número de bactérias 6 dias após a zero hora?

     7) Após o início de um experimento o número de bactérias de uma cultura é dado pela expressão N(t) =  1200 . 2 ^0,4t  . Quanto tempo após o início do experimento a cultura terá   19 200 bactérias?

    8) Uma população de vírus começa com 100 indivíduos e dobra a cada três horas. Assim, o numero n de vírus após t horas e dado pela função N(t) =  100 . 2 ^t/3  . Nessas condições, pode-se afirmar que a população será de 51 200 vírus depois de:

      a) 1 dia e 3 horas.

      b) 1 dia e 9 horas.

      c) 1 dia e 14 horas.

      d) 1 dia e 19 horas.

 9) Técnicos concluem mapeamento do aquífero Guarani: 

O aquífero localiza-se no   subterrâneo dos territórios da Argentina, Brasil, Paraguai e Uruguai, com extensão total de   1 200 000 km², dos quais 840 000 km² estão no Brasil. O aquífero armazena cerca de 30 mil km³ de água e é considerado um dos maiores do mundo. Na maioria das vezes em que são feitas referências à água, são usadas as unidades m³ e litro, e não as unidades já descritas. A Companhia de Saneamento Básico do Estado de São Paulo (SABESP) divulgou, por exemplo, um novo reservatório cuja capacidade de armazenamento é de 20 milhões de litros. Comparando as capacidades do aquífero Guarani e desse novo reservatório da SABESP, a capacidade do aquífero Guarani é:

a) 1,5 x 10² vezes a capacidade do reservatório.

b) 1,5 x 10³ vezes a capacidade do reservatório

c) 1,5 x 10⁶ vezes a capacidade do reservatório

d) 1,5 x 10⁸ vezes a capacidade do reservatório

e) 1,5 x 10⁹ vezes a capacidade do reservatório.

10) Suponha que, em 2006 o PIB (Produto Interno Bruto) de um país foi de 500 bilhões de dólares. Se esse PIB vem crescendo 3% ao ano, de forma cumulativa, qual será o PIB desse país em 2026, dado em bilhões de dólares? Considere 1,03²⁰  = 1,80.