1. Introdução:
A
teoria dos determinantes teve origem em meados do século XVII, quando eram
estudados processos para resolução de sistemas lineares de equações. Hoje em
dia, embora não seja um sistema prático para a resolução de sistemas, os
determinantes são utilizados, por exemplo, para sintetizar certas expressões
matemáticas complicadas.
2. Definição:
A toda matriz quadrada associa-se um número, denominado determinante da matriz, que é obtido por meio de operações entre os elementos da matriz.
3. Cálculo dos Determinantes:
3.1.
Determinantes da matriz de 1ª ordem
O determinante da matriz quadrada de 1ª ordem é igual ao próprio elemento da matriz.
Exemplo: | 5 | = 5
3.2. Determinantes da matriz de 2ª ordem
O determinante da matriz quadrada de 2ª ordem é igual diferença entre os produtos dos elementos da diagonal principal e da diagonal secundária .
Exemplo:
3.3. Determinantes da matriz de 3ª ordem (Regra de Sarrus)
1.
Ao lado direito da matriz copiam-se as duas primeiras colunas.
2.
Multiplicam-se os elementos da diagonal principal e, na mesma direção da
diagonal principal, multiplicam-se os elementos das outras duas filas à sua
direita.
3.
Multiplicam-se os elementos da diagonal secundária e, na mesma direção, os
elementos das outras duas filas à sua direita.
4.
O determinante da matriz é a subtração dos produtos obtidos em 2 e 3.
4. Cofator de uma matriz
Seja
A uma matriz quadrada de ordem n ³ 2.
Chama-se cofator de um elemento aij de A ao número real Aij
= (-1)i + j . Dij, em que Dij é o determinante
obtido da matriz A quando se eliminam a linha e a coluna em que se encontram o
elemento aij .
5. Teorema de Laplace
O
determinante de uma matriz A, de ordem n ³ 2,
é a soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna)
pelos seus respectivos cofatores.
VÍDEO - SOBRE COFATOR E TEOREMA LAPLACE
VÍDEO - TEOREMA LAPLACE E JACOBI
Propriedades
dos Determinantes
P1. Linha ou Coluna Nula
Se
todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz A forem nulos, então
det A = 0
Exemplo:
P2. Filas Paralelas Iguais ou Proporcionais
P3. Matriz Transposta
O determinante de uma matriz é igual ao de sua transposta
P4. Teorema de Binet
Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem n, então:
P5. Matriz Triangular
O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
Exemplo:
P6. Troca de Filas Paralelas
Se
trocarmos de posição duas filas paralelas de uma matriz M, obteremos outra
matriz M´, tal que:det M´
= - det M
Exemplo:
P7. Produto de uma fila por uma Constante
Se
todos os elementos de uma fila, de uma matriz, forem multiplicados por um mesmo
número real k, o determinante da matriz assim obtida fica multiplicado
por k.
Exemplo:
Multiplicando
a 2ª coluna de A por (-3), temos:
Consequência: Seja uma matriz A, de ordem n, e k um número real, temos:
det (k . A) = kn . det A
P8. Determinante da Matriz Inversa
Seja A uma matriz quadrada invertível e A-1
sua inversa, então:
Exemplo:
P9. Adição de Determinantes
Um determinante pode ser decomposto na soma de outros determinantes, iguais aos primeiros, exceto numa coluna j qualquer, mas tal que, a soma das colunas j destes determinantes, seja igual à coluna j do primeiro determinante.
Exemplo:
P10. Teorema de Jacobi
Adicionando-se a uma coluna de uma matriz A, de ordem n, outra coluna paralela, previamente multiplicada por uma constante, obteremos uma nova matriz M´, tal que:
det M´ = det M
Exemplo:
VIDEO - UTILIZANDO O TEOREMA DE JACOBI
Regra de CHIÓ
A
regra de CHIÓ é uma técnica utilizada no cálculo do determinante de ordem n ³ 2.
Dada uma matriz A de ordem n, ao aplicarmos essa regra obteremos outra matriz
A´ de ordem n – 1, cujo determinante é igual ao de A.
1. Desde que a matriz tenha um elemento igual a 1 (um),
eliminamos a linha e a coluna deste elemento.
2. Subtraímos de cada elemento restante o produto dos dois
elementos eliminados, que pertenciam à sua linha e à sua coluna.
3. Multiplicamos o determinante obtido por (-1)i + j,
em que i e j representam a linha e a coluna retiradas.
Exemplo:
Matriz de VANDERMONDE
Chamamos
matriz de VANDERMONDE, ou das potências, toda matriz de ordem n ³ 2, em que suas colunas são
potências de mesma base, com expoente inteiro, variando de 0 à n – 1 (os
elementos de cada coluna formam uma progressão geométrica de primeiro termo
igual a 1).
Obs.: Os elementos da 2ª linha são chamados elementos
característicos da matriz.
O
determinante da matriz de VANDERMONDE é igual ao produto de todas as diferenças
possíveis entre os elementos característicos e seus antecessores.
Exemplo:
