Exemplo 1: 4x + 2y = 42
Dizemos que:
- O par (6, 9) é uma solução da equação, pois 4.6 + 2.9 = 42;
- O par (8, 5) é uma solução da equação, pois 4.8 + 2.5 = 42;
- O par (7, 2) não é solução da equação, pois 4.7 + 2.2 ≠ 42.
Exemplo 2: 2x + 3y + z = 12
Dizemos que:
- O terno (1, 2, 4) é uma solução da equação, pois 2.1 + 3.2 + 4 = 12;
- O terno (2, 1, 5) é uma solução da equação, pois 2.2 + 3.1 + 5 = 12;
- O terno (1, 5, 0) não é solução da equação, pois 2.1 + 3.5 + 0 ≠ 12.
1) possível e determinado
(solução única);
2) possível e indeterminado (infinitas soluções);
3) impossível (não tem solução).
Exemplos:
1) Resolvendo o sistema,
encontramos uma única solução: o par ordenado (3,5). Assim, dizemos que o
sistema é possível (tem solução) e determinado (solução única).
2) No caso do sistema,
verificamos que os pares ordenados (0,8),
(1,7),(2,6),(3,5),(4,4), (5,3),...são algumas de suas infinitas soluções. Por
isso, dizemos que o sistema é possível (tem solução) e indeterminado (infinitas
soluções).
3) Agora para o sistema a seguir,
verificamos que nenhum par ordenado satisfaz
simultaneamente as
equações. Portanto, o sistema é impossível (não tem
solução).
SISTEMA NORMAL
Um sistema é normal quando
tem o mesmo número de equações (m)
e de incógnitas (n) e o
determinante da matriz incompleta associada
ao sistema é diferente de zero.
Se m=n e det A ≠ 0,
então o sistema é normal.
RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES 2x2 PELA REGRA DE CRAMER
A Regra de Cramer permite descobrir a solução por meio de determinantes, quando o sistema é possível e determinado.
Seja o sistema de duas equações com duas incógnitas:
Então, se D ≠ 0, temos uma única solução para o sistema, dada por:
EXEMPLO RESOLVIDO:
Resolva o sistema abaixo pela regra de Cramer:
Resolução:
Podemos então classificar o sistema de acordo com cada uma das três situações:
1) Em D.x = Dx, com D ≠ 0
Nesse caso, o sistema tem única solução. Dada por:
D.x = Dx x = Dx e y = Dy
D D
2) Em D.x = Dx, com D = 0 e [Dx ≠ 0 ou Dy ≠ 0]
Nesse caso, o sistema é impossível (não tem nenhuma solução).
3) Em D.x = Dx, com D = 0, Dx = 0 e Dy = 0
Nesse caso, o sistema tem infinitas soluções.
A regra de Cramer, também pode ser utilizada na resolução de sistemas lineares 3 x 3 (e até sistemas lineares n x n, com n > 3.
EXEMPLO: VIDE A ATIVIDADE 27 DA PÁGINA 22 - CADERNO DO ALUNO:
Classifique e resolva o sistema:
Vamos encontrar o determinante D da matriz e após substituir a matriz resultado nas colunas das incógnitas x, y e z e calcular os determinantes Dx, Dy e Dz de cada variável, aplicando a Regra de Sarrus (produto das diagonais primárias menos o produto das diagonais secundárias).
SISTEMAS ESCALONADOS
Um sistema linear (S) é dito escalonado ou na sua forma escalonada quando:
1) Cada equação possui pelo menos um coeficiente não nulo;
2) Os números de coeficientes nulos, antes do primeiro coeficiente não nulo, aumenta de equação para equação.
OBSERVAÇÃO:
1) Se um sistema escalonado tem uma equação nula, ela pode ser retirada do sistema, sem alterar sua solução.
2) Se um sistema escalonado tem uma equação impossível, o sistema é impossível; caso contrário, o sistema é possível.
Exemplo: se tiver alguma equação 0x + 0y + 0z = k e k ¹ 0 => isso é impossível.
3) Eliminadas as equações nulas de um sistema escalonado possível, ele é:
a) determinado, se o número de equações restantes for igual ao número de incógnitas;
b) indeterminado, se o número de equações restantes for menor que o número de incógnitas.
RESOLUÇÃO DE SISTEMAS ESCALONADOS
Os princípios de equivalência de sistemas nos ajudam na transformação de um sistema linear qualquer em um sistema escalonado equivalente. Tal procedimento é chamado escalonamento do sistema.
Uma vez escalonado um sistema, sua discussão e resolução se tornam simples, bastando para tal que se utilizem as regras para sistemas escalonados.
Por questões práticas, o escalonamento costuma ser feito a partir da matriz completa do sistema. Isso porque, na verdade, o escalonamento consiste em efetuar operações com os coeficientes e termos independentes das equações do sistema.
EXEMPLO: Escalonar e resolver o sistema
| x -3y + z = 8
| 3x + y - z = 6 .
| 2x +z = 8
A matriz completa do sistema será:
Primeiro, vamos obter 0 (zero) nos dois locais assinalados da 2ª linha (L2) e da 3ª linha (L3). No caso, vamos pedir ajuda à 1ª linha (L1) da matriz.
Para que ela fique na forma escalonada, devemos obter 0 (zero) no local indicado na 3ª linha da ultima matriz. Para isso, vamos pedir ajuda à 2ª linha.
Observe que não há, no sistema escalonado, nenhuma equação impossível. Logo, o sistema é possível. O número de equações do sistema (3) é igual ao número de incógnitas (3). Concluímos que a sistema é possível determinado (SPD). Para obter sua única solução, vamos tomar as equações, a partir da última.
3ª equação: 7z = 14 => z = 2
2ª equação: -10y + 4z = 18 => -10y + 8 = 18 => y = -1
1ª equação: x - 3y + Z = 8 => x + 3 + 2 = 8 => x = 3
A solução única do sistema é o terno ( 3, -1 , 2).
EXEMPLO: ATIVIDADE 32 - ITEM A - CADERNO DO ALUNO - PÁGINA 25
Resolva os seguintes sistemas lineares utilizando as técnicas de escalonamento:
