Matemática - Prof Daniel: ALUNOS DO 2º EM - MATRIZES E SEUS SIGNIFICADOS

MATRIZ E SEUS SIGNIFICADOS

VIDEO - O GUARDADOR DE ÁGUAS - MATRIZ E O MEIO AMBIENTE

O significado imediatamente associado às matrizes é o de uma tabela de dupla entrada contendo dados numéricos, ou seja, uma matriz de ordem m x n é qualquer conjunto de m . n elementos dispostos em m linhas e n colunas.

Em outras palavras, para designar com clareza certas situações é necessário um grupo ordenado de números que se apresentam dispostos em linhas e colunas, formando o que se chama matriz. Dizemos que a matriz é do tipo m × n ou de ordem m × n.

Observe o exemplo:

As vendas de uma Concessionária em relação aos veículos da marca Chevrolet, Fiat e Ford, no primeiro trimestre de um determinado ano, podem ser expressas pela tabela a seguir.

Se quisermos saber:

- Quantos veículos da marca Chevrolet foram vendidos em Fevereiro, basta olharmos o número que

está na primeira linha e na segunda coluna;

- Quantos veículos da marca Fiat foram vendidos em Janeiro, basta olharmos o número que está na segunda linha e na primeira coluna;

- Quantos veículos da marca Ford foram vendidos nos 3 meses, basta somarmos os números da terceira linha. E assim por diante.

Uma tabela desse tipo, em que os números estão dispostos em 3 linhas e 3 colunas, denomina-se matriz 3 × 3 (lê-se três por três) e podemos representá-la por:

VIDEO - COOPERATIVA DE LEITE - USANDO MATRIZES

TIPOS DE MATRIZES

A. Matriz Linha

É a matriz que possui uma única linha.

Exemplos

1) A = [–1, 0]

2) B=[1 0 0 2]

B. Matriz Coluna

É a matriz que possui uma única coluna.

Exemplos

C. Matriz Nula

É a matriz que possui todos os elementos iguais a zero.

Exemplos

D. Matriz Quadrada

É a matriz que possui o número de linhas igual ao número de colunas.

Exemplos

Observações:

1ª) Dada uma matriz quadrada de ordem n, chamamos de diagonal principal da matriz ao conjunto dos elementos que possuem índices iguais.

Exemplo

{a₁₁, a₂₂, a₃₃, a₄₄} é a diagonal principal da matriz A.

2ª) Dada a matriz quadrada de ordem n, chamamos de diagonal secundária da matriz ao conjunto dos elementos que possuem a soma dos dois índices igual a n + 1.
Exemplo:

{a₁₄, a₂₃, a₃₂, a₄₁} é a diagonal secundária da matriz A.

E. Matriz Diagonal

É a matriz quadrada que apresenta todos os elementos, não pertencentes à diagonal principal, iguais a zero.

Exemplos

F. Matriz Identidade

É a matriz diagonal que apresenta todos os elementos da diagonal principal iguais a 1.

Representamos a matriz identidade de ordem n por In.

Exemplos:

Observação:

Para uma matriz identidade In = (aij)n × n

G. Matriz Transposta

Dada uma matriz A, chamamos de matriz transposta de A à matriz obtida de A trocando-se, “ordenadamente”, suas linhas por colunas. Indicamos a matriz transposta de A por A^t.

Exemplos

Observação:

Se uma matriz A é de ordem m × n, a matriz A^t, transposta de A, é de ordem n × m.

Operações com Matrizes

Adição (Soma):

É a soma dos elementos das matrizes m × n, resultando em uma matriz final m × n.

A m × n + B m × n + .... + Z m × n = Mf m × n

Propriedades:

1)Comutativa: A + B = B + A

2)Associativa: ( A + B ) + C = A + ( B + C )

3)Elemento Neutro: A + 0 = 0 + A = A , sendo 0 a matriz nula.

4)Elemento Oposto: A + ( - A ) = ( - A ) + A = 0

Subtração:

É a soma da matriz A m × n com a oposta de B m × n. Tendo as mesmas características e propriedades da adição.

A – B = A + ( - B )

Multiplicação de um número real por uma matriz (também denominado escalar):

É a multiplicação de um número real x por cada elemento de uma matriz A m × n, resultando em uma matriz B m × n.

x . A m × n = B m × n

Propriedades:

1)Associativa: x . ( y . A ) = ( x . y ) . A

2)Distributiva de um número real em relação à adição de matrizes:

x . ( A + B ) = x . A + x . B

3)Distributiva de uma matriz em relação à adição de dois números reais:

( x + y ) . A = x . A + y . A

4)Elemento neutro : x . A = A, para x = 1, ou seja, A = A

VIDEO DIDÁTICO SOBRE AS OPERAÇÕES DE MATRIZES

Multiplicação de Matrizes

Cada elemento de C é calculado multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i da matriz A pelos elementos correspondentes da coluna j da matriz B e, a seguir, somando-se os produtos obtidos. Veja abaixo: