Conjunto
N dos
números naturais
No estágio das civilizações
primitivas (encontradas ainda hoje em alguns locais do planeta), as
necessidades de contagem eram muito rudimentares, bastando a numeração que
surgiu gradativa e naturalmente e que hoje representamos por 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8 e 9.
Posteriormente, a ideia de “não
existência” foi representada pelo zero, que alguns autores aceitam como número
natural.
O mais importante é perceber
quão maravilhosa foi essa criação do homem, pois com apenas dez símbolos
conseguiu atender às necessidades da numeração escrita e, com isso, resolver os
problemas de operação.
Atualmente esses algarismos
combinados representam números que formam o que denominamos conjunto N dos
números naturais.
N = {
0, 1, 2, 3, 4, ... }
Entre os subconjuntos de N,
merece destaque:
N* =
{ 1, 2, 3, 4, ... }
· O
sinal * (asterisco) significa que o zero foi excluído do conjunto.
Conjunto
Z dos
números inteiros
Os números negativos foram reunidos aos naturais, configurando o que chamamos modernamente de conjunto Z dos números dos inteiros.
Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Alguns subconjuntos de Z merecem destaque:
Z*
= { ..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ... }
Z+ = { 0, 1, 2, 3, ... }
(conjunto dos números inteiros não negativos)
Z_
= { 0. -1, -2, -3, ... } (conjunto dos números inteiros não
positivos)
Convencionaremos que o asterisco agregado ao símbolo de um conjunto numérico significa a supressão do zero desse conjunto; o sinal + indica a supressão dos números negativos; o sinal – indica a supressão dos números positivos; ainda podemos ter as combinações desses sinais: * com + e * com –.
Conjunto
Q dos
números racionais
A ideia de medir está ligada à de comparar, ou seja, quantas vezes uma determinada distância ou superfície é maior ou menor do que determinada unidade adotada como padrão.
Se, por exemplo, tentarmos medir a altura de um prédio com uma unidade como o metro, podemos obter eventualmente um número não inteiro e estaríamos diante de ideia de uma fração de metro.
O conjunto dos números racionais é formado por todos os números que podem ser escritos na forma de fração do tipo a/b, onde a é um número inteiro qualquer e b, um número inteiro qualquer diferente de zero. É indicado por Q e representado da seguinte forma:
Todo número racional também pode ser escrito na forma decimal, que pode ser:
Exata:
quando conseguimos representá-lo por um número finito de algarismos.
Não exata
periódica: quando sua representação é periódica e possui um número
infinito de algarismos (dízimas periódicas simples ou compostas).
Conjunto
I dos
números irracionais
Os números racionais não solucionaram muitos problemas envolvendo a Geometria e a Aritmética. Em determinadas figuras, alguns segmentos não tem uma unidade de medida que caiba um número inteiro de vezes em cada um deles; são os chamados segmentos incomensuráveis. Os pitagóricos já haviam acusado essa dificuldade em relação à diagonal e ao lado de um quadrado.
Exemplificando, para um quadrado de lado l = 1 e diagonal d, se você aplicar o Teorema de Pitágoras o resultado será um radical, ou seja, uma raiz quadrada não exata que será a V2 = 1,414213......
Fica evidente que nem sempre a raiz de um número racional é um número racional. Para que a teoria dos números racionais evoluísse foi necessário o avanço dos estudos sobre infinitos e geometria analítica. Foram gastos alguns séculos para que, entre tantas contribuições, chegássemos ao século XIX com Dedekind (J.W.R. Dedekind 1831-1916) e Cantor ( Georg Cantor, 1845-1918), dando um rigor científico a essa teoria.
O conjunto I dos números irracionais é formado por números cujas formas decimais não são exatas e nem periódicas.
Conjunto R
dos números reais
O conjunto R dos números reais é formado pela reunião do conjunto Q dos números racionais com o conjunto I dos números irracionais.
Representação dos conjuntos numéricos através de diagramas:
Observe que o conjunto do números irracionais é o complemento do conjunto dos números racionais em relação ao conjunto dos reais, e vice-versa
HORA DA REVISÃO!!! 🎥
VÍDEO SOBRE OS CONJUNTOS NUMÉRICOS
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"Sucesso é o acúmulo de pequenos esforços, repetidos dia e noite."
Robert Collier
Fonte das atividades: Caderno do Aluno do 8º Ano Fundamental
