EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Sabemos que resolver uma equação é determinarmos todos os valores que satisfaçam essa equação, ou seja, determinarmos o seu conjunto solução.
Uma equação trigonométrica envolvendo seno ou cosseno exige a determinação de uma medida de arco para qual o seno ou cosseno assume determinado valor, como, por exemplo, determinar x para que sen x =1/2, ou cos x = –1.
Casos como esses, se forem compreendidos à luz da modelagem de funções trigonométricas, podem ampliar sobremaneira os significados associados a esse tipo de função.
Em trigonometria, vamos considerar três equações chamadas de básicas ou fundamentais.
1. sen 𝛼 = sen 𝛽
2. cos 𝛼 = cos 𝛽
3. tg 𝛼 = tg 𝛽
EXEMPLO - UTILIZAÇÃO DE EQUAÇÃO TRIGONOMÉTRICA
O fenômeno das marés
A conjugação da atração gravitacional entre os corpos do sistema Terra-Lua-Sol e a rotação da Terra em torno de seu eixo são os principais fatores responsáveis pela ocorrência do fenômeno das marés, no qual as águas do mar atingem limites máximos e mínimos com determinada regularidade.
As atrações gravitacionais do Sol e da Lua sobre a Terra causam, em geral, duas marés altas por dia em cada ponto da Terra, separadas por cerca de 12 horas. De fato, se for observada uma maré alta às 10 horas da manhã, por exemplo, a próxima maré alta, no mesmo ponto, ocorrerá por volta de 22h12, ou seja, cerca de 12 minutos além das 12 horas de diferença.
A Lua, por estar muito mais perto da Terra que o Sol, tem maior influência sobre as marés,
como representado na figura a seguir:
No entanto, quando o Sol e a Lua se alinham com a Terra, nas condições de lua cheia ou de lua nova, as atrações dos dois astros se somam e são observadas as marés mais altas dentre todas.
O subir e o descer das marés é registrado por uma medida de comprimento, relativa às alturas, máxima e mínima, que a água atinge em relação a um valor médio. Em um intervalo aproximado de 12 horas, a altura máxima corresponde à maré alta e a altura mínima à maré baixa.
Sites como o da Diretoria de Hidrografia e Navegação divulgam dados das alturas das marés baixa e alta a cada dia e em cada porto (Disponível em: <https://www.mar.mil.br/dhn/dhn/ index.html>.Acesso em: 18 nov. 2013).
Nesta previsão dos extremos de maré de Ubatuba, Santos e Cananeia para os anos de 2012 e 2013, elaborada por pesquisadores do Instituto Oceanográfico da Universidade de São Paulo, com base na análise de maré das observações horárias da elevação da superfície nas estações maregráficas de Ubatuba, Santos e Cananeia, observa-se, por exemplo, que no dia 3 as marés altas alcançaram 1,0 m e 0,9 m, enquanto as marés baixas mediram 0,5 m e 0,2 m.
Nota-se também que a maré alta do dia 5 (1,1 m) foi de maior amplitude que a do dia anterior (1,0 m), e de menos amplitude que a maré alta do dia seguinte (1,2 m). Conclui-se que nas datas indicadas na tábua de Harari e Mesquita a maré alta aumenta com a passagem dos dias.
Escolhido um porto e um período, e selecionadas as alturas, em metros, das marés altas, e apenas delas, organizadamente e de acordo com a ordem de observação, é possível desenhar um gráfico que reflita a periodicidade e que possa ser modelado por uma função trigonométrica.
Observe, por exemplo, o gráfico do porto do Recife durante um período de dois meses. No eixo horizontal estão assinalados os números de observações, cujo valor máximo chega próximo de 120, o que é razoável visto que ocorrem, em média, duas marés altas por dia, e o período do gráfico compreende 2 meses.
Podemos obter a equação desse gráfico, do tipo y = C + AsenBx, se fizermos algumas simplificações:
- adotar que o gráfico é uma senoide.
- traçar uma linha horizontal para identificar a constante C da equação. No caso, C é aprox. = 1,8.
- identificar o valor da amplitude A é aprox. = 0,5.
- deslocar a origem do sistema para o ponto de observação nº 25, de maneira que todos os demais valores de observação passem a ser subtraídos de 25.
- identificar o período do gráfico, correspondente, nesse caso, a 26 observações. Como, em média, são duas observações por dia, o período do gráfico, em dias, é aproximadamente igual a 13 dias. Assim, a constante B = 2p/13.
1) De acordo com
as simplificações realizadas, qual e a sentenca algébrica da função que pode ser
representado por esse gráfico?
Resp: y = 1,8 + 0,5sen 2p/13 t, com t em dias e y em metros.
2) Qual será a altura da maré no 39º dia de observação?
Resp: 1,8 m.
3) Em que dias a maré alta atingiu 2,05 m de altura?
Resp: 2,05 = 1,8 + 0,5sen 2p/13t
sen 2p/13t = 0,5
2p/13t = p/6+ 2kp ou 2p/13t = 5p/6+ 2kp Isolando t, tem-se:
t = 13/12 + 13k, ou t = 65/12 + 13k.
Atribuindo valores naturais para k, obtém-se os valores de t no intervalo que se desejar.)
Para finalizar suas atividades para entrega nessa semana de 18 a 22 maio:
1) Construa os gráficos da página 19 ATIVIDADE 06 e 07
2) Resolva as questões deste contexto sobre "A Respiração"
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