Aula 34 Gráfico Exponencial

 

PA - PROGRESSÕES ARITMÉTICAS ALUNOS LUMA

 

PROGRESSÕES ARITMÉTICAS

São sequências nas quais o aumento de cada termo para o seguinte é sempre o mesmo.

A seqüência (400,430,460,490,520,550,...) é um exemplo de progressão aritmética. O aumento constante de cada termo para o seguinte é chamado de razão de progressão. A razão dessa progressão é igual a 30.

Portanto, uma progressão aritmética é uma seqüência na qual a diferença de cada termo e o anterior é constante. Essa diferença constante é chamada de razão da progressão e é representada pela letra r.

 

Exemplo 1: As sequências (5,8,11,...) e (7,5,3,1,...) são progressões aritméticas cujas razões valem respectivamente 3 e -2.

Em uma progressão aritmética (a₁,a₂,a₃,...) para avançar um termo basta somar a razão; para avançar dois termos, basta somar duas vezes a razão, e assim por diante. Assim, por exemplo, a₁₃ = a₅+8r, pois, ao passar de a₅ para a₁₃, avançamos 8 termos; a₁₂ = a₇+5r, pois avançamos 5 termos ao passar de a₇ para a₁₂; a₄ = a₁₇-13r, pois retrocedemos 13 termos ao passar de a₁₇ para a₄, e de modo geral:   

                                                   a_n = a₁ + (n-1)r

Pois ao passar de a₁ para an avançamos n-1 termos.

Exemplo 2: Em uma progressão aritmética, o quinto termo vale 30 e o vigésimo termo vale 50. Quanto vale o oitavo termo dessa progressão?

Solução: a₂₀ = a_{5 +} 15r, pois ao passarmos do quinto termo para o vigésimo, avançamos 15 termos.

Logo, 50 = 30 + 15r, e r = 4/3, analogicamente a₈ = a₅ + 3r = 30 + 3.3/4 = 34. O oitavo termo vale 34.

ASSISTA O VÍDEO ABAIXO:

PROGRESSÃO ARITMÉTICA - MATEMÁTICA RIO

Agora é com você...

Que tal fazermos umas atividades de fixação?

Faça em seu caderno de Matemática as atividades abaixo e apresente ao professor suas resoluções.

Livro Didático de Matemática: PA = página 217 (resoluções das atividades 12 a 26 passo a passo)

"O homem não teria alcançado o possível se, repetidas vezes, não tivesse tentado o impossível."

FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU - LUMA

 

1 . DEFINIÇÃO

Chama-se função polinomial do 2º grau ou função quadrática a qualquer função f: ℝ  ℝ dada por uma lei da forma f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são números reais fixos (coeficientes) e a ≠ 0; x e f(x) são números reais variá- veis ou chamados simplesmente de variáveis.

Exemplos:

a) f(x) = 3x² - 4x + 1, onde a = 3, b = -4 e c = 1;

b) f(x) = x² - 1, onde a = 1, b = 0 e c = -1;

c) f(x) = 2x² + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5;

d) f(x) = -x² + 8x, onde a = -1, b = 8 e c = 0;

e) f(x) = -4x², onde a = -4, b = 0 e c = 0.

 

2 . O GRÁFICO

O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax² + bx + c, com a ≠ 0, é uma curva chamada parábola.

Exemplo:    Construir    o     gráfico    da     função y = x² + x:

Solução: Primeiro atribuímos alguns valores a variável x e calculamos as respectivas imagens

f(x), formando os pares ordenados (x, f(x)), que em seguida são representados no plano cartesia no, ligamos os pontos assim obtidos.

x	f(x)
-3	6
-2	2
-1	0
0	0
1	2
2	6

Para evitar a determinação de um número muito grande de pontos e obter uma boa representação gráfica, vamos destacar três pontos importantes características do gráfico da função do 2º grau:

·     Concavidade;

·     Zero da função ou raiz da função;

·     Vértice.

 

2.1  Concavidade

Ao construir o gráfico de uma função qua drática y = ax² + bx + c, notaremos sempre que:

·     Se a > 0, a parábola tem a concavidade vol tada para cima;

·     Se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1)  Observando as seguintes funções quadráticas, diga se a parábola tem concavidade voltada para cima ou para baixo. Justifique:

a) f(x) = x² – 5x + 6

b) f(x) = - x² – x + 6

c) y = 3x²

d) f(x) = 2x² – 4x

e) y = 1 – 4x²

2.1  Raiz ou zero da função

Chama-se raiz ou zero da função polinomi al do 2º grau f(x) = ax² + bx + c , a ≠ 0, os números reais x tais que f(x) = 0.

Exemplo:    Determinar   as   raízes   da   função f(x) = x² – 6x + 5.

Solução:

f(x) = 0 Þ

x² – 6x + 5 = 0 (equação do 2º grau)

D = 16

x’ = 1 ou x” = 5

Interpretação geométrica de raiz da função:

As raízes são abscissas dos pontos em que parábola intercepta o eixo x.

Observação: A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o

D = b² – 4.a.c, chamado discriminante, a saber:

·       Quando D é positivo, há duas raízes reais e distintas;

·         Quando D é zero, há só uma raiz real (ou du as raízes reais e iguais);

·         Quando D é negativo, não há raiz real.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

2)          Determine os zeros ou raízes das funções:

a) f(x) = x² – 4x – 5

b) f(x) = x² – 4x + 4

c) f(x) = x² – 2x + 6 

 

2.1  Vértice da parábola (x_v, y_v)

·    Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V;

·     Quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V;

O ponto V é chamado vértice da parábola. Observe os gráficos

As    fórmulas   para    calcular   o    vértice V(x_v , y_v) são:

As    fórmulas   para    calcular   o    vértice V(x_v , y_v) são:

 

xv = -  b                2a

yv = -    Δ 4a

 

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

3)   Determine o ponto V(x_v, y_v), vértice da parábola que representa o gráfico das seguintes funções:

 

a) y = x² - 6x + 5	d) y = x² – 4
b) y = 3x² – 4x	e) y = -6x²
c) y = -x² + x – 3 2.1  Construindo o gráfico Agora que já conhecemos as principais características da parábola, podemos esboçar com mais facilidade o gráfico de uma função quadrática. Observações: ·     A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos y é o eixo de simetria da parábola; ·     Para x = 0 ,temos y = a·02 + b·0 + c = c; então (0, c) é o ponto em que a parábola corta o  eixo dos y.   EXERCÍCIOS PROPOSTOS 4)   Trace, no plano cartesiano, o gráfico das seguintes funções quadráticas: a) y = x2 – 4x + 3 d) y = -5x2 + 2x - 1 b) y = -x2 + 6x - 9 e) f(x) = x2 - 4x c) f(x) = x2 - 4 f) y = x2 – 6x + 5 6)       Esboçar o gráfico da função y = 2x2 – 3x + 1, determinando: a)   as raízes; b)   as coordenadas do vértice; c)    a classificação de yv; (valor mínimo ou valor máximo da função) . d)   intersecção da curva com o eixo y.   5)  Uma pedra é lançada do solo verticalmente para cima. Ao fim de t segundos, atinge a altura h, dada por: h = 40 t – 5t2. a)  Calcule a posição da pedra no instante 2 s b)  Calcule o instante em que a pedra passa pela posição 75 m, durante a subida. Determine a altura máxima que a pedra atin ge.   6)   O dono de uma marcenaria, que fabrica um certo tipo de armário, sabe que o número de ar- mários N que ele pode fabricar por mês depende do número x de funcionários trabalhando na mar cenaria, e essa dependência é dada pela função N(x) = x2 + 2x. Qual é o número de empregados necessários para fabricar 168 armários em um mês?   3. VALOR MÍNIMO OU VALOR MÁXIMO  DA FUNÇÃO QUADRÁTICA

24)   A função f(x) = x² – 2x + 1 tem mínimo no ponto em que x vale:

 

(a) 0

(b) 1

(c) 2

(d) 3

(e) 4

7)   O custo para se produz x unidades de um produto é dado por C = 2x² – 100x + 5000. Determine o valor do custo mínimo.

26)   Um engenheiro pretende construir uma casa de formato retangular com 100 m de perímetro e           de maior área possível. O valor dessa área será de:

 

(a) 50 m2	(c)      100 m2	(e) 625m2
(b) 75 m2	(d) 125 m2